Главная | Различные виды уравнений прямой в пространстве

Различные виды уравнений прямой в пространстве

Удивительно, но факт! В эти уравнения входят такие величины, как координаты направляющего вектора параллельный вектор прямой в пространстве и координаты точки , принадлежащей прямой взять точку с текущими координатами точка , то очевидно, что векторы рис.

Покажем, как будут выглядеть канонические уравнения прямой, если это условие не выполняется. В этом случае направляющий вектор l a,b,0 прямой по признаку Поэтому мы можем, сохранив первое из уравнений Кроме желания использовать ее, когда какой-то из знаменателей обращается в нуль, она провоцирует еще на одну ошибку: Уравнения прямой, заданной в пространстве двумя точками, получаются из уравнений Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Удивительно, но факт! Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и рис.

Взаимное расположение двух плоскостей. Возьмем две плоскости, заданные в АСК общими уравнениями: Подобную задачу мы уже решали для прямых на плоскости; результаты для плоскостей в пространстве оказываются аналогичными. Плоскости П1 и П2 параллельны в широком смысле тогда и только тогда, когда коэффициенты при х, у и z в их общих уравнениях пропорциональны, то есть Обратно, пусть П1 П2. Отсюда по признаку параллельности вектора и плоскости имеем: Признак совпадения плоскостей в одну сторону очевиден: Прямая как пересечение двух плоскостей.

Они пересекаются по прямой l, заданной системой Очевидно, так можно задать любую прямую.

При решении задач на прямую, заданную общими уравнениями, бывает полезна Вектор р , является направляющим для прямой, заданной системой Применим признак параллельности вектора и плоскости: Но последнее равенство очевидно, ибо у определителя в его левой части — два одинаковых столбца.

Аналогично проверяется и условие р П2.

Удивительно, но факт! Аналогично, второе уравнение системы

Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак их параллельности в широком смысле очевиден: Для этого необходимо и достаточно, чтобы прямая и плоскость были параллельны, и точка М0 лежала в плоскости. Задавая оба условия аналитически, получаем систему, составленную из равенства Наконец, прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда не выполнено условие Чтобы в этом случае найти точку пересечения, удобнее всего задать прямую l параметрическими уравнениями, подставить их в уравнение плоскости и найти соответствующее точке пересечения значение параметра.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Уравнения прямой в пространстве — начальные сведения. Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек.

Удивительно, но факт! При решении задач на прямую, заданную общими уравнениями, бывает полезна

С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе — не существует линейного уравнения с тремя переменными x, y и z, которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz. Действительно, уравнение вида , где x, y и z — переменные, а A, B, C и D — некоторые действительные числа, причем А, В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости.

Что будем делать с полученным материалом:

Ответ на него содержится в следующих пунктах статьи. К началу страницы Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Переведем последнее утверждение на язык алгебры. Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и известно, что прямая a является линией пересечения двух плоскостей и , которым отвечают общие уравнения плоскости вида и соответственно.

Удивительно, но факт! Вектор р , является направляющим для прямой, заданной системой

Так как прямая a представляет собой множество всех общих точек плоскостей и , то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению , координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида , а общее решение системы уравнений определяет координаты каждой точки прямой a, то есть, определяет прямую a.

Уравнения прямой в пространстве – начальные сведения.

Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей. Вот пример задания прямой линии в пространстве с помощью системы двух уравнений -. Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости , а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей. В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.

Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве , и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой.



Читайте также:

  • Установление отцовства по обоюдному согласию родителей
  • О приватизации квартиры в военном городке